The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

0 CpxTRS
↳1 RenamingProof (⇔, 0 ms)
↳2 CpxRelTRS
↳3 TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms)
↳4 typed CpxTrs
↳5 OrderProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)
↳6 typed CpxTrs
↳7 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 55 ms)
↳8 typed CpxTrs
↳9 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 316 ms)
↳10 typed CpxTrs
↳11 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)
↳12 typed CpxTrs
↳13 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 1664 ms)
↳14 BEST
    ↳15 typed CpxTrs
        ↳16 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)
        ↳17 typed CpxTrs
        ↳18 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)
        ↳19 typed CpxTrs
        ↳20 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)
        ↳21 typed CpxTrs
        ↳22 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)
        ↳23 typed CpxTrs
        ↳24 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)
        ↳25 typed CpxTrs
        ↳26 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)
        ↳27 typed CpxTrs
        ↳28 LowerBoundsProof (⇔, 0 ms)
        ↳29 BOUNDS(n^1, INF)
    ↳30 typed CpxTrs
        ↳31 LowerBoundsProof (⇔, 0 ms)
        ↳32 BOUNDS(n^1, INF)

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__zeros → cons(0, zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt, IL, M, N) → a__U22(tt, IL, M, N)
a__U22(tt, IL, M, N) → a__U23(tt, IL, M, N)
a__U23(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(nil) → 0
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
a__take(0, IL) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U21(tt, IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X1, X2, X3, X4)) → a__U21(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U22(X1, X2, X3, X4)) → a__U22(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U23(X1, X2, X3, X4)) → a__U23(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0) → 0
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X1, X2, X3, X4) → U21(X1, X2, X3, X4)
a__U22(X1, X2, X3, X4) → U22(X1, X2, X3, X4)
a__U23(X1, X2, X3, X4) → U23(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Rewrite Strategy: FULL

(1) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(2) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt, IL, M, N) → a__U22(tt, IL, M, N)
a__U22(tt, IL, M, N) → a__U23(tt, IL, M, N)
a__U23(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
a__take(0', IL) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U21(tt, IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X1, X2, X3, X4)) → a__U21(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U22(X1, X2, X3, X4)) → a__U22(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U23(X1, X2, X3, X4)) → a__U23(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X1, X2, X3, X4) → U21(X1, X2, X3, X4)
a__U22(X1, X2, X3, X4) → U22(X1, X2, X3, X4)
a__U23(X1, X2, X3, X4) → U23(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(4) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt, IL, M, N) → a__U22(tt, IL, M, N)
a__U22(tt, IL, M, N) → a__U23(tt, IL, M, N)
a__U23(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
a__take(0', IL) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U21(tt, IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X1, X2, X3, X4)) → a__U21(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U22(X1, X2, X3, X4)) → a__U22(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U23(X1, X2, X3, X4)) → a__U23(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X1, X2, X3, X4) → U21(X1, X2, X3, X4)
a__U22(X1, X2, X3, X4) → U22(X1, X2, X3, X4)
a__U23(X1, X2, X3, X4) → U23(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
s :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
hole_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U231_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23

(5) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__U11, a__U12, a__length, mark, a__U21, a__U22, a__U23

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U22
a__U11 = a__U23
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U22
a__U12 = a__U23
a__length = mark
a__length = a__U21
a__length = a__U22
a__length = a__U23
mark = a__U21
mark = a__U22
mark = a__U23
a__U21 = a__U22
a__U21 = a__U23
a__U22 = a__U23

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt, IL, M, N) → a__U22(tt, IL, M, N)
a__U22(tt, IL, M, N) → a__U23(tt, IL, M, N)
a__U23(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
a__take(0', IL) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U21(tt, IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X1, X2, X3, X4)) → a__U21(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U22(X1, X2, X3, X4)) → a__U22(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U23(X1, X2, X3, X4)) → a__U23(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X1, X2, X3, X4) → U21(X1, X2, X3, X4)
a__U22(X1, X2, X3, X4) → U22(X1, X2, X3, X4)
a__U23(X1, X2, X3, X4) → U23(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
s :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
hole_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U231_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U12, a__U11, a__length, mark, a__U21, a__U22, a__U23

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U22
a__U11 = a__U23
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U22
a__U12 = a__U23
a__length = mark
a__length = a__U21
a__length = a__U22
a__length = a__U23
mark = a__U21
mark = a__U22
mark = a__U23
a__U21 = a__U22
a__U21 = a__U23
a__U22 = a__U23

(7) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U12.

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt, IL, M, N) → a__U22(tt, IL, M, N)
a__U22(tt, IL, M, N) → a__U23(tt, IL, M, N)
a__U23(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
a__take(0', IL) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U21(tt, IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X1, X2, X3, X4)) → a__U21(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U22(X1, X2, X3, X4)) → a__U22(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U23(X1, X2, X3, X4)) → a__U23(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X1, X2, X3, X4) → U21(X1, X2, X3, X4)
a__U22(X1, X2, X3, X4) → U22(X1, X2, X3, X4)
a__U23(X1, X2, X3, X4) → U23(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
s :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
hole_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U231_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__length, a__U11, mark, a__U21, a__U22, a__U23

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U22
a__U11 = a__U23
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U22
a__U12 = a__U23
a__length = mark
a__length = a__U21
a__length = a__U22
a__length = a__U23
mark = a__U21
mark = a__U22
mark = a__U23
a__U21 = a__U22
a__U21 = a__U23
a__U22 = a__U23

(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__length.

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt, IL, M, N) → a__U22(tt, IL, M, N)
a__U22(tt, IL, M, N) → a__U23(tt, IL, M, N)
a__U23(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
a__take(0', IL) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U21(tt, IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X1, X2, X3, X4)) → a__U21(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U22(X1, X2, X3, X4)) → a__U22(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U23(X1, X2, X3, X4)) → a__U23(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X1, X2, X3, X4) → U21(X1, X2, X3, X4)
a__U22(X1, X2, X3, X4) → U22(X1, X2, X3, X4)
a__U23(X1, X2, X3, X4) → U23(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
s :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
hole_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U231_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U11, mark, a__U21, a__U22, a__U23

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U22
a__U11 = a__U23
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U22
a__U12 = a__U23
a__length = mark
a__length = a__U21
a__length = a__U22
a__length = a__U23
mark = a__U21
mark = a__U22
mark = a__U23
a__U21 = a__U22
a__U21 = a__U23
a__U22 = a__U23

(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U11.

(12) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt, IL, M, N) → a__U22(tt, IL, M, N)
a__U22(tt, IL, M, N) → a__U23(tt, IL, M, N)
a__U23(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
a__take(0', IL) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U21(tt, IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X1, X2, X3, X4)) → a__U21(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U22(X1, X2, X3, X4)) → a__U22(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U23(X1, X2, X3, X4)) → a__U23(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X1, X2, X3, X4) → U21(X1, X2, X3, X4)
a__U22(X1, X2, X3, X4) → U22(X1, X2, X3, X4)
a__U23(X1, X2, X3, X4) → U23(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
s :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
hole_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U231_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__U21, a__U22, a__U23

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U22
a__U11 = a__U23
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U22
a__U12 = a__U23
a__length = mark
a__length = a__U21
a__length = a__U22
a__length = a__U23
mark = a__U21
mark = a__U22
mark = a__U23
a__U21 = a__U22
a__U21 = a__U23
a__U22 = a__U23

(13) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15517_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15517_0), rt ∈ Ω(1 + n155170)

Induction Base:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(0)) →RΩ(1)
0'

Induction Step:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(+(n15517_0, 1))) →RΩ(1)
cons(mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15517_0)), 0') →IH
cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(c15518_0), 0')

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

(14) Complex Obligation (BEST)

(15) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt, IL, M, N) → a__U22(tt, IL, M, N)
a__U22(tt, IL, M, N) → a__U23(tt, IL, M, N)
a__U23(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
a__take(0', IL) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U21(tt, IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X1, X2, X3, X4)) → a__U21(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U22(X1, X2, X3, X4)) → a__U22(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U23(X1, X2, X3, X4)) → a__U23(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X1, X2, X3, X4) → U21(X1, X2, X3, X4)
a__U22(X1, X2, X3, X4) → U22(X1, X2, X3, X4)
a__U23(X1, X2, X3, X4) → U23(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
s :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
hole_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U231_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15517_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15517_0), rt ∈ Ω(1 + n155170)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U21, a__U11, a__U12, a__length, a__U22, a__U23

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U22
a__U11 = a__U23
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U22
a__U12 = a__U23
a__length = mark
a__length = a__U21
a__length = a__U22
a__length = a__U23
mark = a__U21
mark = a__U22
mark = a__U23
a__U21 = a__U22
a__U21 = a__U23
a__U22 = a__U23

(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U21.

(17) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt, IL, M, N) → a__U22(tt, IL, M, N)
a__U22(tt, IL, M, N) → a__U23(tt, IL, M, N)
a__U23(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
a__take(0', IL) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U21(tt, IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X1, X2, X3, X4)) → a__U21(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U22(X1, X2, X3, X4)) → a__U22(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U23(X1, X2, X3, X4)) → a__U23(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X1, X2, X3, X4) → U21(X1, X2, X3, X4)
a__U22(X1, X2, X3, X4) → U22(X1, X2, X3, X4)
a__U23(X1, X2, X3, X4) → U23(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
s :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
hole_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U231_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15517_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15517_0), rt ∈ Ω(1 + n155170)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U22, a__U11, a__U12, a__length, a__U23

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U22
a__U11 = a__U23
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U22
a__U12 = a__U23
a__length = mark
a__length = a__U21
a__length = a__U22
a__length = a__U23
mark = a__U21
mark = a__U22
mark = a__U23
a__U21 = a__U22
a__U21 = a__U23
a__U22 = a__U23

(18) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U22.

(19) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt, IL, M, N) → a__U22(tt, IL, M, N)
a__U22(tt, IL, M, N) → a__U23(tt, IL, M, N)
a__U23(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
a__take(0', IL) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U21(tt, IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X1, X2, X3, X4)) → a__U21(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U22(X1, X2, X3, X4)) → a__U22(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U23(X1, X2, X3, X4)) → a__U23(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X1, X2, X3, X4) → U21(X1, X2, X3, X4)
a__U22(X1, X2, X3, X4) → U22(X1, X2, X3, X4)
a__U23(X1, X2, X3, X4) → U23(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
s :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
hole_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U231_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15517_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15517_0), rt ∈ Ω(1 + n155170)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U23, a__U11, a__U12, a__length

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U22
a__U11 = a__U23
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U22
a__U12 = a__U23
a__length = mark
a__length = a__U21
a__length = a__U22
a__length = a__U23
mark = a__U21
mark = a__U22
mark = a__U23
a__U21 = a__U22
a__U21 = a__U23
a__U22 = a__U23

(20) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U23.

(21) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt, IL, M, N) → a__U22(tt, IL, M, N)
a__U22(tt, IL, M, N) → a__U23(tt, IL, M, N)
a__U23(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
a__take(0', IL) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U21(tt, IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X1, X2, X3, X4)) → a__U21(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U22(X1, X2, X3, X4)) → a__U22(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U23(X1, X2, X3, X4)) → a__U23(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X1, X2, X3, X4) → U21(X1, X2, X3, X4)
a__U22(X1, X2, X3, X4) → U22(X1, X2, X3, X4)
a__U23(X1, X2, X3, X4) → U23(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
s :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
hole_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U231_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15517_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15517_0), rt ∈ Ω(1 + n155170)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U12, a__U11, a__length

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U22
a__U11 = a__U23
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U22
a__U12 = a__U23
a__length = mark
a__length = a__U21
a__length = a__U22
a__length = a__U23
mark = a__U21
mark = a__U22
mark = a__U23
a__U21 = a__U22
a__U21 = a__U23
a__U22 = a__U23

(22) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U12.

(23) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt, IL, M, N) → a__U22(tt, IL, M, N)
a__U22(tt, IL, M, N) → a__U23(tt, IL, M, N)
a__U23(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
a__take(0', IL) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U21(tt, IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X1, X2, X3, X4)) → a__U21(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U22(X1, X2, X3, X4)) → a__U22(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U23(X1, X2, X3, X4)) → a__U23(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X1, X2, X3, X4) → U21(X1, X2, X3, X4)
a__U22(X1, X2, X3, X4) → U22(X1, X2, X3, X4)
a__U23(X1, X2, X3, X4) → U23(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
s :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
hole_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U231_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15517_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15517_0), rt ∈ Ω(1 + n155170)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__length, a__U11

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U22
a__U11 = a__U23
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U22
a__U12 = a__U23
a__length = mark
a__length = a__U21
a__length = a__U22
a__length = a__U23
mark = a__U21
mark = a__U22
mark = a__U23
a__U21 = a__U22
a__U21 = a__U23
a__U22 = a__U23

(24) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__length.

(25) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt, IL, M, N) → a__U22(tt, IL, M, N)
a__U22(tt, IL, M, N) → a__U23(tt, IL, M, N)
a__U23(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
a__take(0', IL) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U21(tt, IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X1, X2, X3, X4)) → a__U21(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U22(X1, X2, X3, X4)) → a__U22(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U23(X1, X2, X3, X4)) → a__U23(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X1, X2, X3, X4) → U21(X1, X2, X3, X4)
a__U22(X1, X2, X3, X4) → U22(X1, X2, X3, X4)
a__U23(X1, X2, X3, X4) → U23(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
s :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
hole_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U231_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15517_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15517_0), rt ∈ Ω(1 + n155170)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U11

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U22
a__U11 = a__U23
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U22
a__U12 = a__U23
a__length = mark
a__length = a__U21
a__length = a__U22
a__length = a__U23
mark = a__U21
mark = a__U22
mark = a__U23
a__U21 = a__U22
a__U21 = a__U23
a__U22 = a__U23

(26) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U11.

(27) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt, IL, M, N) → a__U22(tt, IL, M, N)
a__U22(tt, IL, M, N) → a__U23(tt, IL, M, N)
a__U23(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
a__take(0', IL) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U21(tt, IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X1, X2, X3, X4)) → a__U21(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U22(X1, X2, X3, X4)) → a__U22(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U23(X1, X2, X3, X4)) → a__U23(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X1, X2, X3, X4) → U21(X1, X2, X3, X4)
a__U22(X1, X2, X3, X4) → U22(X1, X2, X3, X4)
a__U23(X1, X2, X3, X4) → U23(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
s :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
hole_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U231_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15517_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15517_0), rt ∈ Ω(1 + n155170)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(x), 0')

No more defined symbols left to analyse.

(28) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15517_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15517_0), rt ∈ Ω(1 + n155170)

(29) BOUNDS(n^1, INF)

(30) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt, IL, M, N) → a__U22(tt, IL, M, N)
a__U22(tt, IL, M, N) → a__U23(tt, IL, M, N)
a__U23(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
a__take(0', IL) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U21(tt, IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X1, X2, X3, X4)) → a__U21(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U22(X1, X2, X3, X4)) → a__U22(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U23(X1, X2, X3, X4)) → a__U23(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X1, X2, X3, X4) → U21(X1, X2, X3, X4)
a__U22(X1, X2, X3, X4) → U22(X1, X2, X3, X4)
a__U23(X1, X2, X3, X4) → U23(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
s :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
hole_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U231_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15517_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15517_0), rt ∈ Ω(1 + n155170)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(x), 0')

No more defined symbols left to analyse.

(31) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15517_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15517_0), rt ∈ Ω(1 + n155170)

(32) BOUNDS(n^1, INF)